Qual a função da Geometria Analítica?

                                  

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas (isso mesmo, aquele dos eixos x e y) para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões (o espaço R2), mas por vezes também em três ou mais dimensões, o dito espaço R3

A álgebra linear (ramo da matemática aplicada que trata de espaços vetoriais) utiliza largamente a geometria analítica em seus resultados.

A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais, com as suas propriedades. A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Fontes bibliográficas:

Dicionário Babylon - Geometria Analítica

Geometria Analítica - O que é e para que serve

Curiosidades relacionadas à Geometria Analítica

- Renée Descartes foi o primeiro a utilizar sistematicamente, na matemática, as letras do alfabeto para representar as constantes, as variáveis e as incógnitas. Ele também estabeleceu o uso dos expoentes e o símbolo da raiz quadrada.

- Talvez a criação mais famosa de Renée Descartes na matemática ocorreu quando ele estava na cama observando uma mosca voar e percebeu que toda posição ocupada pela mosca poderia ser determinada pela intersecção de três planos ortogonais, paralelos às faces do quarto. Com isso ele desenvolveu o sistema de coordenadas utilizado até hoje para produzir gráficos bidimensionais e tridimensionais. Esse princípio levou ao desenvolvimento de uma geometria baseada em suas próprias observações: a Geometria Analítica.

- Uma nota de Isaac Newton diz que seu cálculo (que era considerado invenção independente) foi baseado no “método de Pierre de Fermat para estabelecer tangentes”. Newton foi a primeira pessoa a citar o pequeno Teorema de Fermat, embora a primeira pessoa a publicar a prova do teorema foi Euler em 1736 no artigo "Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio".

- A Geometria Analítica possui grande importância para ajudar a resolver os problemas de otimização (problema onde se procura determinar os valores extremos de uma função, bastante utilizado diariamente por nós para determinar o nível de uma produção mais econômico de uma fábrica, o ponto da órbita de um cometa mais próximo da terra e etc.)

- Renée Descartes publicou sua teoria sobre a formação do arco-íris.  Segundo ele, o arco principal é resultado dos raios de luz que passam por duas refrações e uma reflexão interna nas gotas de chuva. Já o arco secundário é resultado dos raios de luz que passam por duas refrações e duas reflexões internas na gota.

Fontes bibliográficas:

Portal das Curiosidades

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Renée Descartes - Cientista e Filósofo

Problemas que levaram ao surgimento da Geometria Analítica

O estudo da geometria iniciou-se no século XVII com Renée Descartes relacionando a álgebra com a geometria o que criou princípios matemáticos capazes de analisar (através da geometria) as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. Após esse estudo a matemática passou a ser considerada uma disciplina moderna visto que era capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço.

As noções intuitivas de vetores começaram a serem exploradas para buscar resultados numéricos que expressassem as ideias da união da geometria com a álgebra. Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as característica relacionadas a tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à cinemática vetorial, dinâmica e etc.

Vários matemáticos contribuíram para a evolução da geometria analítica. Newton sugeriu novos tipos de sistemas de coordenadas e fez anotações sobre as cúbicas. O conhecimento sobre as secções cônicas teve seu marco inicial com Menaecmus, porém Apolônio de Perga é que se destacou mais por reunir todas as informações obtidas anteriormente. A partir daí, Apolônio deixou claro que parábola, elipse e hipérbole são três espécies de secções cônicas que podem ser obtidas de um cone duplo, apenas variando a inclinação do plano de secção. Esse seu trabalho teve grande importância na física, permitindo Johannes Kepler descobrir as trajetórias elípticas dos planetas com o Sol ocupando um de seus focos e Newton deduziu isso através da lei da gravitação e as leis da mecânica.

Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram seus estudos na geometria analítica, que serviu como base para o surgimento do cálculo diferencial e integral, muito utilizados atualmente na Engenharia. O Cálculo se dedica ao estudo das taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, sendo de grande importância na Física, Biologia e Química, no que diz respeito a cálculos mais complexos e detalhados.

Isaac Newton

Renée Descartes

Fontes bibliográficas:

Só Matemática - História da Geometria Analítica

Brasil Escola - Geometria Analítica

Trajetória da Geometria Analítica

O quê facultou o estudo da Geometria Analítica a partir do final do Século XVI? Por quê?

A partir do século XVI, com o inicio da geometria analítica, que foi uma união entre a geometria e a álgebra. O que facilitou os problemas da geometria, pois traduziu a geometria para letras, fórmulas e proporções nos problemas.

Além disso, foi criado o plano cartesiano ortogonal, que resolveu com uma maior facilidade questionamentos sobre posicionamento de pontos e retas e ate mesmo a resolução de problemas com figuras geométricas sem precisar esboçá-las.

Autor: Marcílio Feitosa

Problemas de Aplicação

A Geometria Analítica é utilizada/requisitada em diversos campos de estudos. Os principais desses são: As Engenharias (Produção, Elétrica, Mecânica), Geografia (Cartografia) e a Astronomia (Distanciamento de meteoros e cometas).

Com toda essa aplicabilidade a vista, decidimos expor aquela que, nós cremos que, mais se aplica ao nosso “cotidiano”, pois numa sociedade globalizada e consumista, não viveríamos na atualidade sem energia elétrica, até porque a falta da mesma dificultaria a nossa vida.

O engenheiro elétrico elabora, através da associação da Eletrotécnica e a Geometria Analítica, sistemas de automação e controle de consumo de energia nas indústrias. Tudo representado em gráficos e planilhas, relacionando quantos trabalhadores atuam na indústria, as horas de trabalho e quantas máquinas atuam. Além disso, ele recorre a Geometria Analítica para poder planejar a distribuição elétrica de uma cidade, uma vez que possui em mãos o conhecimento fundamental da Geometria, ele limita a proximidade das redes de transmissão, tudo representado geometricamente e através de equações.

Fontes bibliográficas:

YouTube - Curiosidades da Geometria Analítica

Teia do Saber - Unicamp

Matemáticos que se destacaram na Geometria Analítica

·         Apolônio:

Durante o período da “Idade Áurea” da Matemática, Apolônio era um dos grandes nomes da época. Ele, que segundo relatos, foi tesoureiro-geral de Ptolomeu Filadelfo e escreveu uma obra chamada “Resultado Rápido”, obra atualmente perdida, que relatava processos rápidos de cálculo. Possuía outras obras, muitas delas também perdidas, entre elas: “Como dividir uma razão”, “Cortar uma área”, “Sobre secção determinada”, “Tangências” (ou “Contatos”), e “Inclinações e Lugares Planos”. Seis de suas obras incluem-se em tratados mais avançados (hoje perdidos) de Euclides, que se encontram na coleção “Tesouro da análise”. Sua contribuição sobre Geometria Analítica para o “Tesouro” de Euclides fez com que ele merecesse o título de “O Grande Geômetra” na antiguidade.

·         Fermat:

Grande rival de Descartes, Fermat estudou direito em Toulouse, chegou a exercer, porém, dedicou-se à matemática por puro prazer. Em 1629 começou a fazer descobertas de importância capital em matemática. Como resultado do seu trabalho de restauração da obra “Lugares Planos”, de Apolônio, descobriu em 1636 o princípio fundamental da Geometria Analítica.

·         Plücker: 

Julius Plücker foi educado em Heidelberg, Berlim e Paris, França. Ele foi nomeado para Bonn, em 1829, e tornou-se professor de matemática em Halle, em 1834, em seguida, em Bonn, em 1836. Ele fez importantes contribuições à Geometria Analítica e à Física. Ele iniciou a investigação de configurações geométricas associadas com complexos de linha. Neste modo de especificar as coordenadas de um ponto a uma equação linear, isto é, de todas as linhas através do ponto enquanto a linha tem um par de números, ou seja, a X e Y coordenadas do local onde ela corta os eixos. Seu trabalho na combinatória considera sistemas do tipo Steiner. Ele também introduziu a noção de uma superfície regrada e foi o responsável pela aritimetização da Geometria Analítica.

 ·         Descartes:

                René Descartes, responsável pela relação entre Álgebra e Geometria, que resultou no Plano Cartesiano, consequentemente, criando a Geometria Analítica.Descartes utilizou o Plano Cartesiano no intuito de representar planos, retas, curvas e círculos através de equações matemáticas. Os estudos iniciais da Geometria Analítica surgiram com as teorias de René Descartes, que representavam de forma numérica as propriedades geométricas. A criação da Geometria Analítica por Descartes foi fundamental para a criação do Cálculo Diferencial e Integral pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, e também da Cartografia, ligada à construção de mapas.

Fontes bibliográficas:

Brasil Escola - A Matemática de Renée Descartes

A História da Matemática (Carl B. Boyer)
Math.Info